理论力学动能定理例题详解与实战指南

题目描述

质量为 m 的小球 M 套在光滑的水平圆环上，圆环半径为 R。小球受一大小恒为 F、方向始终沿圆环切线方向的力作用，从静止开始运动。求小球运动半周时的速度 v。

解题步骤

1. 确定研究对象：小球 M（视为质点）。
2. 受力分析：
   • 重力 mg（竖直向下）
   • 支持力 N（竖直向上，与重力平衡）
   • 圆环弹力 N_r（沿半径方向，指向圆心）
   • 切向力 F（沿切线方向）
3. 分析做功：
   • 重力和支持力始终与运动方向垂直，不做功。
   • 圆环弹力 N_r 始终与速度方向垂直，不做功。
   • 切向力 F 大小恒定，方向始终与位移方向相同，做正功。
4. 计算功：小球运动半周，路程 s = πR。故 W_F = F · s = FπR。
5. 应用动能定理：

   T₁ = 0 (静止)

   T₂ = ½mv²

   T₂ - T₁ = W_F

   ½mv² - 0 = FπR

最终结果

v = √(2FπR / m)

? 解析：此题关键在于识别变力（方向变）但做功路径简单的特点。对于大小不变、方向始终沿轨迹切线的力，其功等于力的大小乘以路程。

题目描述

均质细杆 AB 长为 l，质量为 m，可绕通过 A 端的水平轴在竖直平面内转动。杆从水平位置由静止释放，求杆转到竖直位置时的角速度 ω 及 A 端约束反力。

解题步骤

1. 确定研究对象：细杆 AB（刚体）。
2. 运动分析：定轴转动。初始角速度 ω₁ = 0，末态角速度 ω₂ = ω。
3. 受力与做功分析：
   • 重力 mg：作用在质心 C（中点），下落高度 h = l/2。做正功 W_G = mg(l/2)。
   • A 端约束反力：作用点无位移，不做功。
4. 计算动能：
   • 初始动能 T₁ = 0。
   • 末态动能 T₂ = ½J_Aω²。
   • 对于绕端点转动的均质杆，转动惯量 J_A = (1/3)ml²。
   • 故 T₂ = ½ · (1/3)ml² · ω² = (1/6)ml²ω²。
5. 应用动能定理：

   T₂ - T₁ = W_G

   (1/6)ml²ω² - 0 = mg(l/2)

求解角速度

ω² = 3g/l

ω = √(3g/l)

求解约束反力（补充）

在竖直位置，利用质心运动定理。质心 C 的加速度只有法向加速度 a_n = (l/2)ω²。

ΣF_y = m·a_n

F_Ay - mg = m · (l/2) · (3g/l)

F_Ay = mg + 1.5mg = 2.5mg

? 解析：动能定理求速度极快，但求约束反力需结合牛顿第二定律（质心运动定理）。注意转动惯量的公式选择。

题目描述

质量为 m、半径为 R 的均质圆盘，沿倾角为 θ 的斜面作纯滚动（无滑移）。若圆盘从静止开始滚下距离 s，求其质心速度 v_C。

解题步骤

1. 确定研究对象：圆盘（刚体平面运动）。
2. 运动分析：纯滚动，故 v_C = ωR，即 ω = v_C/R。
3. 受力与做功分析：
   • 重力 mg：质心下降高度 h = s·sinθ。做功 W_G = mg·s·sinθ。
   • 斜面支持力 N：垂直于位移，不做功。
   • 静摩擦力 f_s：作用点（接触点）瞬时速度为零，故静摩擦力不做功。这是纯滚动的关键特性。
4. 计算动能：
   • T₂ = T_trans + T_rot
   • T₂ = ½mv_C² + ½J_Cω²
   • 对于圆盘，J_C = (1/2)mR²。
   • T₂ = ½mv_C² + ½(1/2)mR²(v_C/R)² = ½mv_C² + ¼mv_C² = (3/4)mv_C²。
5. 应用动能定理：

   T₂ - T₁ = W_G

   (3/4)mv_C² - 0 = mg·s·sinθ

最终结果

v_C² = (4g·s·sinθ) / 3

v_C = √(4g·s·sinθ / 3)

? 解析：纯滚动问题中，静摩擦力不做功是解题捷径。若使用牛顿定律，需列三个方程（Fx, Fy, M），而动能定理只需一个方程。