连续傅里叶变换推导
我们要证明：ℱ{f g} = F(ω) · G(ω)
根据傅里叶变换的定义：
ℱ{(f g)(t)} = ∫_{-∞}^{∞} [∫_{-∞}^{∞} f(τ)g(t-τ)dτ] e^{-iωt} dt
交换积分次序（假设满足富比尼定理条件）：
= ∫_{-∞}^{∞} f(τ) [∫_{-∞}^{∞} g(t-τ) e^{-iωt} dt] dτ
令 u = t - τ，则 t = u + τ，dt = du：
= ∫_{-∞}^{∞} f(τ) [∫_{-∞}^{∞} g(u) e^{-iω(u+τ)} du] dτ
= ∫_{-∞}^{∞} f(τ) e^{-iωτ} [∫_{-∞}^{∞} g(u) e^{-iωu} du] dτ
注意到内部积分正是 G(ω)，它与 τ 无关，可提到外部积分外：
= G(ω) ∫_{-∞}^{∞} f(τ) e^{-iωτ} dτ
= G(ω) F(ω)
证毕。这展示了卷积定理的公式在数学上的严谨性。
离散傅里叶变换推导
对于离散序列，DFT定义为：
X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i 2π k n / N}
循环卷积定义为：
y[n] = ∑_{m=0}^{N-1} x[m] h[(n-m) mod N]
对 y[n] 进行DFT：
Y[k] = ∑_{n=0}^{N-1} [∑_{m=0}^{N-1} x[m] h[(n-m) mod N]] e^{-i 2π k n / N}
通过变量代换和指数性质，可以证明：
Y[k] = X[k] · H[k]
这表明在离散频域中，循环卷积对应于点乘。这是FFT加速卷积的理论基础。
物理意义解释
从物理角度看，卷积描述了系统对输入的响应累积。如果一个系统由多个子系统级联而成，其总响应是各子系统冲激响应的卷积。
在频域中，每个频率分量被系统独立缩放和相移。因此，系统的总效应就是各个频率分量响应的乘积。卷积定理的公式正是这一物理直觉的数学表达：时域的“累积效应”等价于频域的“独立缩放”。